Đồ thị hàm số \(y=f\left(\left|x\right|\right)\)

\(f^2\left(\left|x\right|\right)+\left(m-1\right)f\left(\left|x\right|\right)-m=0\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(\left|x\right|\right)=1\left(2\right)\\f\left(\left|x\right|\right)=-m\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ đồ thị ta thấy phương trình \(\left(2\right)\) có hai nghiệm phân biệt nên phương trình \(\left(1\right)\) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình \(\left(3\right)\) có hai nghiệm phân biệt khác hai nghiệm của phương trình \(\left(2\right)\).

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-m=-3\\-1< -m< 1\\-m>1\end{matrix}\right.\)

...

a) Pt\(\Leftrightarrow\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2xcos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)+3sinx.cosx-\dfrac{m}{4}+2=0\)

\(\Leftrightarrow1-\dfrac{3}{4}sin^22x-\dfrac{3}{2}sin2x-\dfrac{m}{4}+2=0\)

\(\Leftrightarrow-3sin^22x-6sin2x-m+12=0\)

Đặt \(t=sin2x;t\in\left[-1;1\right]\)

Pttt: \(-3t^2-6t-m+12=0\)

\(\Leftrightarrow-3t^2-6t+12=m\) (1)

Đặt \(f\left(t\right)=-3t^2-6t+12;t\in\left[-1;1\right]\) 

Vẽ BBT sẽ tìm được \(f\left(t\right)_{min}=3;f\left(t\right)_{max}=15\)\(\Leftrightarrow3\le f\left(t\right)\le15\)\(\Rightarrow m\in\left[3;15\right]\) thì pt (1) sẽ có nghiệm

mà \(m\in Z\) nên tổng m nguyên để pt có nghiệm là 13 m

Vậy có tổng 13 m nguyên

b) Pt\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\left(1\right)\\2cos^2x-\left(2m+1\right)cosx+m=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\left(k\in Z\right)\)

\(x\in\left[0;2\pi\right]\Rightarrow0\le\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\le2\pi\)\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{4}\le k\le\dfrac{3}{4}\)\(\Rightarrow k=0\)

Tại k=0\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}\)

Để pt ban đầu có 4 nghiệm pb \(\in\left[0;2\pi\right]\)

\(\Leftrightarrow\) Pt (2) có 3 nghiệm pb khác \(\dfrac{\pi}{2}\)

Xét pt (2) có: \(2cos^2x-\left(2m+1\right)cosx+m=0\)

Vì là phương trình bậc hai ẩn \(cosx\) nên pt (2) chỉ có nhiều nhất ba nghiệm \(\Leftrightarrow\) Pt (2) có một nghiệm cosx=0

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) mà \(x\ne\dfrac{\pi}{2}\)

\(\Rightarrow\) Pt (2) chỉ có nhiều nhất hai nghiệm

\(\Rightarrow\) Pt ban đầu không thể có 4 nghiệm phân biệt

Vậy \(m\in\varnothing\) 

Đặt \(t=x^2-2x+3\left(t\ge2\right)\)

Phương trình trở thành \(f\left(t\right)=t^2+2\left(3-m\right)t+m^2-6m=0\left(1\right)\)

Phương trình \(\left(1\right)\) có nghiệm \(t_1\ge t_2\ge2\) khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'\ge0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}\ge2\\1.f\left(2\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3-m\right)^2-m^2+6m\ge0\\m-3\ge2\\m^2-10m+16\ge0\end{matrix}\right.\)

Giải ra tập giá trị của m rồi lấy các giá trị thuộc \(\left[-10;10\right]\)

Với \(x=0\) ko là nghiệm

Với \(x\ne0\) chia 2 vế cho \(x^2\)

\(\Rightarrow2x^2+\left(m+1\right)x-36+\dfrac{2\left(m+1\right)}{x}+\dfrac{8}{x^2}=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+\dfrac{4}{x^2}+4\right)+\left(m+1\right)\left(x+\dfrac{2}{x}\right)-44=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^2+\left(m+1\right)\left(x+\dfrac{2}{x}\right)-44=0\)

Đặt \(x+\dfrac{2}{x}=t\Rightarrow x^2-tx+2=0\) (2)

(2) có nghiệm khi \(\Delta=t^2-8\ge0\) (1 nghiệm khi dấu "=" xảy ra, còn lại là 2 nghiệm)

Khi đó pt trở thành:

\(f\left(t\right)=2t^2+\left(m+1\right)t-44=0\) (3)

Do \(ac=-88< 0\) nên (3) luôn có 2 nghiệm pb trái dấu

Phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thực khi:

TH1: (3) có 2 nghiệm pb sao cho \(t^2=8\) , thế vào (1) ko có m thỏa mãn

TH2: (3) có 2 nghiệm thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}t_1^2>8\\t_2^2< 8\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t_1< -2\sqrt{2}< t_2< 2\sqrt{2}\\-2\sqrt{2}< t_1< 2\sqrt{2}< t_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow f\left(-2\sqrt{2}\right).f\left(2\sqrt{2}\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left[-2\sqrt{2}\left(m+1\right)-28\right]\left[2\sqrt{2}\left(m+1\right)-28\right]< 0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2\sqrt{2}\left(m+1\right)>28\\2\sqrt{2}\left(m+1\right)< -28\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>7\sqrt{2}-1\\m< -7\sqrt{2}-1\end{matrix}\right.\)

a.

- Với \(m=\pm1\Rightarrow-6x=1\Rightarrow x=-\dfrac{1}{6}\) có nghiệm

Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)

- Với \(\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\Rightarrow1-m^2>0\)

\(f\left(0\right)=-1< 0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[\left(1-m\right)^2x^3-6x-1\right]\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(1-m^2-\dfrac{6}{m^2}-\dfrac{1}{m^3}\right)=-\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;0\right)\)

- Với \(-1< m< 1\Rightarrow1-m^2< 0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left[\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\right]=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left[\left(1-m^2\right)-\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}\right]=+\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;+\infty\right)\)

Vậy pt đã cho có nghiệm với mọi m

b. Để chứng minh pt này có đúng 1 nghiệm thì cần áp dụng thêm kiến thức 12 (tính đơn điệu của hàm số). Chỉ bằng kiến thức 11 sẽ ko chứng minh được

c. 

Đặt \(f\left(x\right)=\left(m-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)^3+2x-5\)

Do \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên \(f\left(x\right)\) liên tục trên R

\(f\left(2\right)=4-5=-1< 0\)

\(f\left(3\right)=6-5=1>0\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(3\right)< 0\) với mọi m

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (2;3) với mọi m

Hay pt đã cho luôn luôn có nghiệm

Đặt x² + 2x + 4 = t . Điều kiện : t ≥ 3 

Phương trình đã cho trở thành t² - 2mt - 1 = 0 (1)

(1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = t² - 2mt - 1 với trục Ox (tức đường thẳng y = 0). Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi (1) có 2 nghiệm phân biệt t thỏa mãn t ≥ 3 

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = t² - 2mt - 1 

Nếu m > 3 thì yêu cầu bài toán thỏa mãn khi 

8 - 6m ≥ 0 ⇔ m ≤ \(\dfrac{4}{3}\) (không thỏa mãn m > 3)

Nếu m < 3, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi 

8 - 6t ≤ 0 ⇔ m ≥ \(\dfrac{4}{3}\) Vậy m ∈ \(\)[\(\dfrac{4}{3};3\))

Nếu m = 3 thì phương trình trở thành 

t² - 6t - 1 = 0 có 2 nghiệm thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=6\\t_1.t_2=-1\end{matrix}\right.\)

tức phương trình có 2 nghiệm trái dấu (không thỏa mãn điều kiện 2 nghiệm t ≥ 3) nên m = 3 không thỏa mãn yêu cầu bài toán 

Vậy tập hợp các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là M = \(\left\{m\in R;\dfrac{4}{3}\le m< 3\right\}\)

c.

\(\Leftrightarrow cos\left(x+12^0\right)+cos\left(90^0-78^0+x\right)=1\)

\(\Leftrightarrow2cos\left(x+12^0\right)=1\)

\(\Leftrightarrow cos\left(x+12^0\right)=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+12^0=60^0+k360^0\\x+12^0=-60^0+k360^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=48^0+k360^0\\x=-72^0+k360^0\end{matrix}\right.\)

2.

Do \(-1\le sin\left(3x-27^0\right)\le1\) nên pt có nghiệm khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m\ge-1\\2m^2+m\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m+1\ge0\left(luôn-đúng\right)\\2m^2+m-1\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-1\le m\le\dfrac{1}{2}\)

a.

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+15^0=arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\\x+15^0=-arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-15^0+arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\\x=-15^0-arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\end{matrix}\right.\)

b.

\(2x-10^0=arccot\left(4\right)+k180^0\)

\(\Rightarrow x=5^0+\dfrac{1}{2}arccot\left(4\right)+k90^0\)

2.

Phương trình \(sin\left(3x-27^o\right)=2m^2+m\) có nghiệm khi:

\(2m^2+m\in\left[-1;1\right]\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m\le1\\2m^2+m\ge-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(2m-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-1\le m\le\dfrac{1}{2}\)